Calcul d'un terme avec une formule explicite

Soit  `(u_n)` la suite numérique définie pour tout  `n\in \mathbb{N}` par  `u_n=(n-4)/(2n+1)` . Cette suite est définie à l'aide d'une formule explicite : on a directement  `u_n` en fonction de  `n` .

Nous allons donc programmer une fonction terme_u qui prendra en argument un entier n et qui renverra le n-ième terme de cette suite. Exécuter le programme suivant.

def terme_u(n):
    return (n-4)/(2*n+1)

Dans ce fragment de programme,

• le mot clé def permet d'indiquer que l'on est en train de définir une fonction ;
  
• cette fonction a pour nom terme_u et un seul argument que l'on appelle n. Le nom de la suite est suivie de deux points ;
  
• la suite de la fonction est décalée d'un cran vers la droite : c'est ce que l'on appelle l'indentation. Celle-ci est indispensable au bon fonctionnement du programme ;
  
• le mot-clé return indique que la fonction renverra la valeur qui suit ce mot. Cette valeur pourra alors être stockée dans une variable ou affichée dans la console.

Pour calculer  `u_20` , on appelle la fonction terme_u avec l'argument 20.
terme_u(20)

Exercice

1. Écrire une fonction terme_v prenant un entier n en paramètre et renvoyant le n-ième terme de la suite définie pour tout  `n\in\mathbb{N}` par  \(v_n=\dfrac {3+(-1)^n}{n+1}\) .
En Python : la puissance s'écrit **. Par exemple  \((-1)^n\) s'écrit (-1)**n.

2. Utiliser cette fonction pour calculer le  \(v_{10}\) .

3. En utilisant cette fonction, conjecturer la limite de  \(v_n\) lorsque  \(n\) tend vers  \(+\infty\) .